INVESTIGACION: FRACTAL

  FRACTAL

Un Fractal es un objeto geométrico en el que se repite el mismo patrón a diferentes escalas y con diferente orientación.

HISTORIA

La expresión fractal viene del latín fractus, que significa fracturado, roto, irregular. La expresión y el concepto se atribuyen al matemático Benoit B. Mandelbrot, y aparecen como tal a finales de la década de los setenta y principios de los ochenta (Mandelbrot,1977 y 1982). Anteriormente, los matemáticos Cantor y Peano, entre otros, definen objetos catalogables dentro de esta categoría, pero no son reconocidos como tales.

CONSTRUCCIÓN Y ESTUDIO

Podemos construir fractales por el uso de distintos métodos. Nosotros nos centraremos en el estudio de aquellos formados a partir de la iteración de algunas funciones.

 

CARACTERÍSTICAS

Si un objeto fractal lo aumentamos, los elementos que aparecen vuelven a tener el mismo aspecto independientemente de cual sea la escala que utilizamos, y formando parte, como en un mosaico de los elementos mayores. Es decir estos elementos tienen una estructura geométrica recursiva. Si observamos dos fotografías de un objeto fractal con escalas diferentes (una en metros y otra en milímetros, por ejemplo) sin nada que sirva de referencia para ver cual es el tamaño, resultaría difícil decir cual es de las ampliaciones es mayor o si son distintas. Los fractales desde su primera formulación tuvieron una vocación práctica de servir como modelos para explicar la naturaleza.

FRACTALES EN LA VIDA COTIDIANA

Continuamente en nuestras vidas nos encontramos con fractales sin darle la menor importancia. Algunos ejemplos son: brócoli, elecho, caracol, girasol.

COMO HACER UN FRACTAL EN INKSCAPE

VonKoch

Este efecto permite crear figura fractales. Quizás la figura fractal más clásica es el copo de nieve Von Koch. Otro método alternativo para crear figuras fractales con Inkscape es utilizar la extensión Sistema-L.

Cuando se aplica este efecto a un trazo, se crean dos trazos de control adicionales: uno denominado Segmento de referencia y otro llamado Trazo generador (atención: en el cuadro de diálogo Editor de efectos de trayecto a este trazo de control se le denomina, de mala manera, como Generando trayecto). La estructura de la figura fractal está completamente determinada por estos trazos de control. La primera generación de la figura se crea colocando copias del trazo esqueleto inicial de forma que el Segmento de referencia de estas copias se sitúa encima de los subtrazos que forman el Trazo generador. Cada nueva generación se crea de la misma manera, utilizando como nuevos segmentos de referencia cada uno de los subtrazos del trazo generador de la generación anterior.

Izquierda: El trazo esqueleto inicial. Centro: El trazo resultante después de aplicarle el efecto VonKoch con los valorespredeterminados de sus parámetros. Derecha: El trazo resultante con los trazos de control del efecto: el Segmento de referencia (la línea superior) y el Trazo generador (las dos líneas inferiores).

Al aplicar el EET VonKoch a un trazo, el Segmento de referencia se crea de manera que divide verticalmente la caja de contorno del trazo inicial por la mitad. Por otra parte, el Trazo generador está inicialmente formado por dos subtrazos rectos, cada uno con una longitud de un tercio del borde inferior de la caja de contorno. Tanto el Segmento de referencia como el Trazo generador se pueden modificar como cualquier trazo normal haciendo clic sobre el icono de edición de nodos situado en la línea Segmento de referencia o en la Generando trayecto del cuadro de diálogo Editor de efectos de trayecto.

  

Izquierda: El trazo de un rombo después de aplicarle el efecto VonKoch. Los dos trazos de control del efecto aparecen con su forma predeterminada. Centro: El mismo trazo después de haber modificado el Trazo generador. Derecha: Aspecto final del trazo resultante después de haber aumentado el número de generaciones hasta seis, y haber cambiado el Relleno y el Borde del trazo. 

Cada uno de los subtrazos del Trazo generador puede estar compuesto por uno o dos segmentos rectos. Cuando un subtrazo del Trazo generador está formado por un único segmento, entonces la manipulación de este segmento solamente nos permite modificar el tamaño y/o la orientación de las copias correspondientes a ese subtrazo generadas por el efecto. Sin embargo, cuando un subtrazo del Trazo generador está compuesto por dos segmentos, entonces es posible añadir inclinación a las copias correspondientes a ese subtrazo. En este caso, el primero de los segmentos del subtrazo compuesto del Trazo generador nos permite controlar tanto el cambio de tamaño de la copia en la dirección perpendicular al Segmento de referencia, como también la inclinación de la copia. La dirección del segundo segmento coincide con la del Segmento de referencia. La función del primero de los segmentos se puede desactivar marcando la casilla Solamente usar transformaciones uniformes.

  

 

Izquierda: El trazo de un cuadrado después de aplicarle el efecto VonKoch. Los trazos de control del efecto aparecen con su forma predeterminada. Centro: El mismo trazo después de haber modificado los dos subtrazos del Trazo generador añadiéndoles un segundo segmento a cada uno. Derecha: Aspecto final del trazo resultante después de haber aumentado a dos el número de generaciones.

Como el resto de los EETs, este efecto también se puede aplicar a grupos de trazos.

 

Izquierda: Un triángulo de Sierpinski creado aplicando el efecto VonKoch cuatro veces de forma consecutiva. Cada una de las veces se ha aplicado el efecto al grupo de trazos resultante en el paso anterior. Derecha: Dibujo creado aplicando el efecto VonKoch de la misma forma a un grupo inicial de trazos formado en este caso por un triángulo y una circunferencia.

A continuación se explican brevemente los pasos que hay que seguir para crear el lado de un copo de nieve de Von Koch:

1.     Crear una estrella regular de seis puntas utilizando la Herramienta Estrella (fijar valor del parámetro longitud del radio en 0.577).

2.     onvertir la estrella en un trazo (Trayecto → Objeto a trayecto (Mayús+Ctrl+C));. Después, eliminar los nodos necesarios para que el trazo quede como el que aparece en la siguiente figura. Para ello hay que hacer uso de los controles de la barra de controles de la Herramienta Nodo.

Izquierda: Una estrella regular de seis puntas. Derecha: El trazo esqueleto después de eliminar de la estrella los nodos necesarios.

3.     Crear un duplicado del trazo (ya que más tarde necesitaremos una copia del mismo) y después desplazarlo hacia un lado.

4.     Aplicar el efecto VonKoch al trazo original. Entonces aparecerán los trazos de control del efecto con su forma predeterminada.

5.     Ahora es necesario modificar ambos trazos de control. Tal vez sea algo más fácil empezar con el Trazo generador. Este trazo de control tiene una estructura predeterminada que consiste en dos subtrazos rectos separados. Sin embargo, para crear la figura final son necesarios cuatro trazos exactamente como los del trazo esqueleto. Para ello, hay que seleccionar el duplicado del trazo esqueleto y aplicar el comando pegar a cada uno de tres nodos intermedios del trazo. Después de hacer esto, la Barra de Estado debe informar de que el trazo duplicado está formado por ocho nodos.

6.     Copiar el duplicado del trazo en el portapapeles, después seleccionar el trazo original y en el cuadro de diálogo Editor de efectos de trayecto hacer clic sobre el icono de la línea Generando trayecto. De esta manera sustituimos el Trazo generador predeterminado. Probablemente, los trazos resultantes de la primera generación cambiarán de posición saltando a la esquina superior derecha. ¡Que no cunda el pánico! Ahora solo tenemos que arrastrar el Trazo generador hasta el lugar que le corresponde.

7.     Hacer clic sobre el icono de la línea Generando trayecto del cuadro de diálogo Editor de efectos de trayecto. Entonces el Trazo generador debe aparecer en color verde. A continuación, seleccionar todos los nodos de dicho trazo, y arrastrarlo hasta superponerlo sobre el trazo esqueleto. 

 

Izquierda: El trazo esqueleto después de haberlo duplicado, y haberle aplicado el efecto VonKoch. En color verde aparecen tanto el Segmento de referencia como el Trazo generador (el color del Borde del trazo esqueleto original se ha cambiado a gris para que sean más fácilmente visibles los dos trazos de control). Derecha: El duplicado del trazo esqueleto se ha dividido en cuatro subtrazos, y después se ha pegado “dentro del efecto” para sustituir al Trazo generador inicial. A continuación, se ha desplazado hacia abajo el nuevo Trazo generador hasta colocarlo como muestra la figura.

8.     Ahora es necesario modificar la posición del Segmento de referencia. Para ello, hay que hacer clic sobre el icono de la línea Segmento de referencia del cuadro de diálogo Editor de efectos de trayecto. Después hay que seleccionar los dos nodos de dicho trazo de control, y moverlo hacia abajo hasta superponerlo sobre la base del trazo esqueleto.

9.     or último, podemos aumentar el número de generaciones del efecto. Si se especifican cuatro o más generaciones, es necesario aumentar el valor del parámetro Complejidad máxima. También se puede desmarcar la casilla Dibujar todas las generaciones para que el programa solo dibuje la última generación.

Izquierda: El trazo después de haber desplazado el Segmento de referencia hacia abajo. Derecha: La figura final resultante cuando el número de generaciones se fija en 3, y se desmarca la casilla Dibujar todas las generaciones.