INVESTIGACION: CURVAS DE BÉZIER

Las curvas de Bézier es un sistema que se desarrolló hacia los años 1960 para el trazado de dibujos técnicos, en el diseño aeronáutico y en el de automóviles. Su denominación es en honor a Pierre Bézier, quien ideó un método de descripción matemática de las curvas que se comenzó a utilizar con éxito en los programas de CAD. 
Las curvas de Bézier fueron publicadas por primera vez en 1962 por el ingeniero francés Pierre Bézier, que las usó posteriormente con profusión en el diseño de las diferentes partes de los cuerpos de un automóvil, en sus años de trabajo en la Renault. Las curvas fueron desarrolladas por Paul de Casteljau usando el algoritmo que lleva su nombre. Se trata de un método numéricamente estable para evaluar las curvas de Bézier.
El simple trazado recto corresponde a la llamada curva de Bézier de grado 1 (o lineal), pero la cosa se anima para grados mayores. Las curvas de Bézier de grado mayor que 1 resultan extraordinariamente sencillas para crear trayectorias curvas entre dos puntos. Para construirlas, se interpola entre los extremos uno o más puntos. Cuantos más puntos interpolemos, de más grado (y posibilidades de control) será la curva. Por este motivo, los puntos interpolados se denominan puntos de control de la curva.
La idea de definir geométricamente las formas no es demasiado compleja: un punto del plano puede definirse por coordenadas. Si en lugar de unir dos puntos con una recta se unen con una curva, surgen los elementos esenciales de una curva Bézier; los puntos se denominan «puntos de anclaje» o «nodos». La forma de la curva se define por unos puntos invisibles en el dibujo, denominados «puntos de control», «manejadores» o «manecillas».
PUNTOS IMPORTANTES:
°La curva de Bézier se encuentra en el interior de la envolvente convexa de los puntos de control.

°La curva de Bézier es infinitamente derivable.

°El control de la curva es global. Modificar un punto de control implica modificar completamente la curva.

°Para efectuar una transformación afín de la curva es suficiente efectuar la transformación sobre todos los puntos de control.

°La curva comienza en el punto P₀ y termina en el P_n. Esta peculiaridad es llamada interpolación del punto final.

°La curva es un segmento recto si, y sólo si, todos los puntos de control están alineados.

°El comienzo (final) de la curva es tangente a la primera (última) sección del polígono de Bézier.

°Una curva puede ser desdoblada en algunos puntos en dos curvas, o de manera arbitraria en tantas curvas como se quieran, cada una de las cuales es una nueva curva de Bézier.